3.2洛必达法则

2022-09-24 164 0

微积分-宋浩老师专栏收录该内容查看全部 21 篇文章

#### 3.2.1洛必达法则

应用于：0/0，∞/∞类型

###### 洛必达法则1：

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/19374da5aa6fa745ff999581306719d0.jpg)

洛必达法则证明：

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/276a592c1da1336e82e9978b6d354b4a.jpg)

**推论：**

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/937cca3d150430e6de0fab33a15307c5.jpg)

例1：重要极限

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/1064df9482175b6c2d9f4a3065d442e6.jpg)

例2：

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/b4b65c74595e0ea81c38e1b4fca56772.jpg)

例3：只有在0/0型，∞/∞型才能继续洛必达

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/d87d4eab476ddb74e0d2ec3354b7a5de.jpg)

###### 洛必达法则2：

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/23729c76f9872a5495f99e1109216085.jpg)

例1：

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/2b4c2d1d346fbfa2a1b2f17aef1a7b6c.jpg)

例2：lnx<√x，xⁿ<e^λx，对数 < 幂 < 指数

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/02612339ee071590d94746b9d683765a.jpg)

**注意：**

- 只有在0/0型，∞/∞型才能用洛必达法则

- 必要一味地去求导，与重要极限，等价无穷小替换结合使用

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/baad3c37341b91e2d508feb6b403b570.jpg)

例4：等价无穷小替换

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/97682e98da8446e78734f8d23d5ea03d.jpg)

例5：洛必达无法求出极限，可改用其他方法

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/6b840e963540e8efdea79e03af39242a.jpg)

**总结：**0/0型，∞/∞型首先考虑洛必达法则，如果是0*∞，0^0，1^∞，∞^0，先转化为两种基本形式再使用洛必达法则，使用并求导后还是两种基本型，然后再次进行求导，中间过程需要简化的项要及时简化

例1：

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/05caadaa857c717b5b056349767b27d8.jpg)

例2：

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/64e8d44c0b24fca7b6366c1568f9366e.jpg)