3.4极值与最值

2022-09-24 169 0

微积分-宋浩老师专栏收录该内容查看全部 21 篇文章

#### 3.4.1极值

**极值定义：**

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/7c383e4e53da32cda81e2d0d39aebd28.jpg)

**由定理得出：**

1. 可导函数的极值点一定是驻点
2. 驻点不一定是极值点：y=x^3
3. 导数不存在的点也可能是极值点
4. 所以极值点一定是驻点或导数不存在的点
5. 驻点，导数不存在的点未必是极值点

**定理：**f(x) 在 x0 可导，且在x0取极值，则f'(x0) = 0

**证明：**

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/1798e31ba195e48a0e7617692b0e9d63.jpg)

**定理：**f(x) 在 (x0 - δ, x0 + δ) 内连续，在邻域内(x0点可除外)可导，且f'(x0) = 0或不存在

- 左增右减，极大值，x∈(x0 - δ, x0)，f'(x) > 0，x∈(x0, x0 + δ)，f'(x) < 0
- 左减右增，极小值，x∈(x0 - δ, x0)，f'(x) < 0，x∈(x0, x0 + δ)，f'(x) > 0
- 左右都增(减)，啥不是：x∈U(x0)，f'(x) 不变号，不是极值

**极值解题步骤：**

- 求定义域
- 找导数为零和不存在的的点
- f'(x)左右符号
  - 左正右负，极大值
  - 左负右正，极小值
  - 左正右正，左负右负，没有极值
- 求函数值

例1：

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/fd80e9c0c010000bb65d06a5a91a2073.jpg)

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/42cfbc412c79c1edfdc28080dc74b62c.jpg)

例2：

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/325adc55885cc42b394ada7ddace1ba1.jpg)

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/28afef0a0630dde4df32259b8512d7d8.jpg)

**定理：**x0处有二阶导数，f'(x0) = 0，f''(x0) ≠ 0，

1. f''(x0) < 0 极大值
2. f''(x0) > 0 极小值

证明：

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/938b5e7b40713819fd49a6d4cb5898ff.jpg)

**总结：**x0，f'(x0) = 0，f''(x0)=0，可能是极大值，极小值，也可能都不是

例3：

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/705bfb1e2511d29aab536c93935cc8cb.jpg)

例4：

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/128e753d0eedde598812cae778f73acf.jpg)

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/aa94b3cc591ca4517ef0e49fb3deb4f8.jpg)

![](https://qiniu.lovedcode.com/Blog/article/1b6c2ad6f64e97cee8a0877c21ebe79e.jpg)

**最值：**

- **位置：驻点，导数不存在点，端点**
- **最值是唯一的，最值点可能不是唯一的**
- **连续且在[a，b]单调，最值点在端点**
- **如果是可导函数，则区间内只有一个极值就是最值**