4.2积分法★ 2022-09-29

4.2.1换元积分法1.第一换元积分法(凑微分法)定义：把d外面的某项拿到d里面（变成原函数）凑基本积分公式例1：例2：d里面的项可随意加减常数（不是乘除）注意：d里面的项可以随意加减常数（不是乘除）例3：凑，d上乘的系数可以拿到里面，或者积分上例4：例5：不同解题过程，可能会有不同结果例6：例7：例8：三角函数：例9：类似可得：例10：例11：结论记住例12：结论记住例14：sin/cos奇数次，分出来一个并且放d上，外面就是偶数次例15：sin/cos偶数次，用倍角公式例16：sin/cos奇数次，分出来一个并且放d上例17：积化和差2.第二换元积分法定义与第一换元积分法的区别：例18：大

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4.1不定积分的概念与性质 2022-09-29

4.1.1原函数与不定积分的概念定理：F(x)是f(x)的一个原函数，F(x)+c也是f(x)的原函数不定积分定义：例1：例2：例3：几何意义：加C之后过一点例4：性质一：性质二：性质三：注意：最外面是积分一定要加C，dx不要漏4.1.3基本积分公式★又称凑微分法重要：1，2，3，5，6，7，10，11例1：例2：例3：例4：例5：

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3.5函数作图 2022-09-24

3.5.1渐近线渐近线：水平渐近线，垂直渐近线，斜渐近线水平渐近线：例1：例2：垂直渐近线：例3：斜渐近线：例4：3.5.2微分法作图作图步骤：求定义域，求不连续的点（一般分母等于零），坐标轴相交的点奇偶性，对称性，周期性渐近线（水平，垂直，斜），无穷远的状态找一阶导数和二阶导数等于0的点，和不存在的点，极值，图像升降，及凸凹性，以及拐点特殊的点例1：偶函数左右对称例2：比完之后次数为一，有斜渐近线

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3.4极值与最值 2022-09-24

3.4.1极值极值定义：由定理得出：可导函数的极值点一定是驻点驻点不一定是极值点：y=x^3导数不存在的点也可能是极值点所以极值点一定是驻点或导数不存在的点驻点，导数不存在的点未必是极值点定理：f(x)在x0可导，且在x0取极值，则f’(x0)=0证明：定理：f(x)在(x0-δ,x0+δ)内连续，在邻域内(x0点可除外)可导，且f’(x0)=0或不存在左增右减，极大值，x∈(x0-δ,x0)，f’(x)>0，x∈(x0,x0+δ)，f’(x)<0左减右增，极小值，x∈(x0-δ,x0)，f’(x)<0，x∈(x0,x0+δ)，f’(x)>0左右都增(减)，啥不是：x∈

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3.3函数单调性与曲线凸凹性 2022-09-24

3.3.1单调性单调增：f’(x)>0单调减：f’(x)<0注：f’(x)≥0，等号只在个别点上成立例1：例2：例3：是个分式，是个奇函数分界点：f’(x)=0：驻点导数不存在的点例4：导数等于零的点例5：导数不存在的点和等于零的点例6：不等式作为函数求导数3.3.2凸凹性凸函数：在函数任取两点连接一条直线，直线始终在形成弧线的下方凹函数：在函数任取两点连接一条直线，直线始终在形成弧线的上方定义：任给x1，x2凹函数：f(x1+x2/2)<f(x1)+f(x2)/2凸函数：f(x1+x2/2)>f(x1)+f(x2)/2凹函数：二阶导数大于0凸函数：二阶导数小于0例1：

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3.2洛必达法则 2022-09-24

3.2.1洛必达法则应用于：0/0，∞/∞类型洛必达法则1：洛必达法则证明：推论：例1：重要极限例2：例3：只有在0/0型，∞/∞型才能继续洛必达洛必达法则2：例1：例2：lnx<√x，xⁿ<e^λx，对数<幂<指数注意：只有在0/0型，∞/∞型才能用洛必达法则必要一味地去求导，与重要极限，等价无穷小替换结合使用例4：等价无穷小替换例5：洛必达无法求出极限，可改用其他方法总结：0/0型，∞/∞型首先考虑洛必达法则，如果是0*∞，0^0，1^∞，∞^0，先转化为两种基本形式再使用洛必达法则，使用并求导后还是两种基本型，然后再次进行求导，中间过程需要简化的项要及时简化例1：

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3.1中值定理 2022-09-23

3.1.1罗尔定理费马引理：f(x)在x0，U(x0)有定义，在x0处可导，如f(x)≤f(x0)，∀x∈(x0)，则f’(x0)=0驻点：导数为零的点就叫驻点罗尔定理：f(x)满足在[a,b]连续在(a,b)可导f(a)=f(b)结论：则至少存在ξ∈(a,b)，f’(ξ)=03.1.2拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理：在[a,b]连续在(a,b)可导结论：在(a,b)至少有一点ξ：f(b)-f(a)=f’(ξ)(a-b)推论：f(x)在区间I连续，I内可导且导数恒为零，f(x)=C3.1.3柯西中值定理柯西中值定理：若f(x)和F(x)在[a,b]连续在(a,b)可导∀x∈(a,b)，F’(

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2.5微分 2022-09-21

2.5.1微分的定义该变量计算公式：Δx，Δy=y(x0+Δx)-y(x0)问题：有些改变量不好算有些情况不需要精确值微分概念：微分定义：可微条件：f(x)在x0可微⇔可导dy=f’(x0)Δx，dy=AΔx做题：由定理可知函数可微必可导，可导必可微，函数的可导性与可微性是等价的公式：dy=f’(x)Δx=f’(x)dx，Δx=dxx改变了多少就是dx，是精确值y改变了多少约等于dy，是近似值dy=f’(x)dx，dy/dx=f’(x)：微商例1：找x0和Δx，在Δx足够小时微分值和该变量是十分接近的2.5.2微分的几何意义2.5.3微分公式与运算法则基本初等函数的微分公式：基本导数乘dx微分

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2.4高阶导数 2022-09-20

二阶导数：三阶导数：多阶导数：例1：例3：注明两边同事对x求导，自变量，因变量，常数求导为0例4：例5：例6：例7：例8：四则运算法则：

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2.3隐函数求导 2022-09-20

2.3.1隐函数求导显函数：因变量y放在等式一侧隐函数：函数的自变量和因变量会出现在等式的一侧，不能用自变量表述另一个因变量隐函数定义：设F(x,y)=0，若对任意x的取值，由F(x,y)=0可以确定唯一的y值与x对应，称由F(x,y)=0确定y关于x的隐函数.隐函数求导：若F(x,y)=0确定y关于x的隐函数，求y对x的导数时，只要将y看成x的函数，两边对x求导即可。e^x+y=0，F(x,y)=F[x,f(x)]例1：例2：

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